开平方

计算步骤

笔算开平方方法
1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开，分成几段，表示所求平方根是几位数；
2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数（竖式中的3）；
3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数（竖式中的256）；
4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商（20×3除256，所得的最大整数是 4，即试商是4）；
5．用所求的平方根的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试（竖式中（20×3+4）×4=256，说明试商4就是平方根的第二位数）；
6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数．
如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值．
例如求 的近似值（精确到0.01），可列出上面右边的竖式，并根据这个竖式得到。
笔算开平方运算较繁，在实际中直接应用较少，但用这个方法可求出一个数的平方根的具有任意精确度的近似值．
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实例1　开方公式

例如，A=5：
5介于2的平方至3的平方;之间。取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，最好取中间值2.5
第一步：2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2；输入值大于输出值，负反馈；
即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取2位数2.2。

第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23；输入值小于输出值，正反馈；
即5/2.2=2.27272，2.27272-2.2=0.07272，0.07272×1/2=0.03636，2.2+0.03636=2.23636。取3位数2.23

第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236
即5/2.23=2.2421525，2.2421525-2.23=0.0121525，0.0121525×1/2=0.00607，2.23+0.006=2.236，取4位数。
每一步多取一位数。这个方法又叫反馈开方，即使输入一个错误的数值，也没有关系，输出值会自动调节，接近准确值。
例如A=200：
200介如10的平方至20的平方之间。初始值可以取11，12，13，14，15，16，17，18，19。取15：15+（200/15-15)1/2=14。取19也一样得出14：19+（200/19-19)1/2=14
14+（200/14-14）1/2=14.1
14.1+（200/14.1-14.1)1/2=14.14

实例2　精确开方公式
对于一个要开平方的数C，先试估一个尽可能接近方根的数a，使得C=a²±b，且b≤a，则

例如，√3000：
因为3000=3025-25=55²-25
所以√3000≈55-25/（2×55）-25²/（8×55³）= 54.7722577......，一次性得到了7位有效数字的精确度。
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开平方的步骤：

（1）要把被方数从小数点向左向右每隔两位用撇号分开；
（2）从左边第一段求得正的平方根的最高位上的数；
（3）从第一段里减去最高位上的数的平方，在所得差的右边移下第二段，作为第一个余数；
（4）把最高位上的数与20的乘积去试除第一个余数,所得的商的整数部分作为商（如果这个整数部分大于或者等于10，就用9作商）；
（5）把最高位上的数的20倍与商的和再乘以这个商，如果所得的积大于余数时，把商减1再试，直到积小于或者等于余数为止，这个商就是正的平方根的第二位上的数；
（6）用同样的方法，可继续求出正的平方根的其他各位上的数。注意平方根的小数点要与被开方数的小数点对齐。
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PS：1.20来源：(10a+b)²展开，原理就是这个完全平方展开
2.原理就是手动开方是一位一位算的，所以我们需要依次求出每一位上的数字是几。于是先假设这个数是10a+b，又因为10以下平方会有两位数，所以被开方数要两位两位往下落。首先根据56知道最高位是7，然后完全平方式(10a+b)²=100a²+20ab+b²，减去100a²剩下两项可以写成(20a+b)xb，现在知道乘20是什么原理了吧，这也是7x20之后要求方框里的数字一致的原因，然后求出b为5，接下来令75为a，前面的数就变成100a²了，再根据(20a+b)b接着去求下一位的b，这就是迭代法(B站)[如何手动开平方学校老师从来不教学会又可以炫耀给小伙伴了_哔哩哔哩_bilibili]